Show that for any positive integer n, \(\sigma (n)=\sum_{e|n} \phi (e)d(\frac{n}{e})\)
Proof:
Let \(n=p^\alpha\), p prime. Then
$$\sum_{e|n} \phi(e)d(\frac{n}{e})$$
$$=\sum_{i=0}^{\alpha}\phi(p^i)d(p^{\alpha-i})$$
$$=\phi(1)d(p^\alpha)+\phi(p)d(p^{\alpha-1})+\cdots +\phi(p^\alpha)d(1)$$
$$=(\alpha+1)+(p-1)\alpha+p(p-1)(\alpha-1)+p^{\alpha-2}(p-1)2+p^{\alpha-1}(p-1)$$
$$=(\alpha+1)+\alpha p+(\alpha-1)p^2+(\alpha-2)p^3+\cdots +2p^{\alpha-1}+p^\alpha$$
$$-\alpha -(\alpha-1)p-(\alpha-2)p^2-(\alpha-3)p^3-\cdots -p^{\alpha-1}$$
$$=1+p+p^2+\cdots +p^\alpha=\frac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}=\sigma(p^\alpha)=\sigma(n)$$
But \(\phi , d\) and \(\sigma\) are multiplicative. So \(\phi(n)=\sum_{e|n}\phi(e)d(\frac{n}{e}), \forall n \in \mathbb{N}\)
2012年3月21日 星期三
平安度過OSU的第一學季
去當義工發傳單時遇到的大狗，超可愛！
從DCCC轉到Ohio State University已經過完一個完全學季（Quarter）了，生活地點和學制、課業的調適還是進行式。之前的學校都是學期制 (Semester)，新學校是學季制（不過暑假開始也要改成學期），一期從15週縮為10週，同樣課程要在緊湊的時間內完成。課堂的大小也差很多，CC平均30±10人，而U是從三、四十人到200人的大講座都有，通識課程尤其人滿為患。大講座就會有助教，教學品質而言，助教反而比教授還有用（而且考卷都嘛助教在改）。大學校有很多我未知的事物需要重新認識。
學習的內容就沒有什麼差異了。根據我在微積分上維持同樣的表現，我現在比較能肯定的這麼說。如果特別求教，教授仍然是很願意幫忙，不過教授的教學品質不見得都很好（世界通則）。從這兩年多來的經驗，ratemyprofessor之類的評分網站有一定的可信度，選課前先做過調查是最好的。台灣不知道有沒有這玩意？
生活上的調適反倒很艱難。我在Michigan和Pennsylvania都是住郊區、學校也非大城市，雖然步調不算慢，但畢竟有悠閒的空間感。OSU本身學生數在美國是數一數二，所在的Columbus以人口論又是全美第14大城市，讓我這個（自稱）人群恐懼症的弱雞有種小白兔進大森林的惶惶感。中途老婆去紐約出差一個月又讓我額外訓練一個人過生活。不過日子總是要過，也就硬逼著自己習慣了。
這個Quarter下來，除了好一陣子每餐都得自己煮之外，還自主做了些平常不拉著老婆不會想去做的事（賀！獨立生活）。像是去學校辦的轉學生聚會、保齡球聚、轉換駕照、辦保險。好像也只有這樣。總之最後來放個本學季期末成績表吧：
人類學這門課，教授很有意思。她對研究和教學的熱忱表現得很強烈：本身在寫博士論文、上課用的投影片直到課前都還會更動、不斷補充該領域的新研究成果。不過我在第二次期中考吃足了苦頭，因為Miocene、Eocene什麼的和一堆猴子的種類和細節我總是記不起來。幸好期末考準備充份，勉強拿下一個A。
General Survey是所有第一年入學（大一新生和轉學生）都要選的課，詳細介紹OSU的學制等等。可以說是一整季的新生訓練？
電影課...要寫的paper一堆，加上期末9頁的paper，得B並不意外。期末是可以選擇拍短片，不過拍片也不容易啊。說起來，我幾乎每個學期都有選到一門要寫一堆東西的課：
- OCC第一學期(秋) - ESL Writing
- OCC第二學期(冬) - English Composition 1
- DCCC第一學期(秋) - Contemporary Moral Problems
- DCCC第二學期(春) - 無，但是修了最多的17學分
- DCCC第三學期(夏) - English Composition 2
- DCCC第四學期(秋) - American History 1
- OSU第一學季(冬) - Asian American Film
感覺把這輩子需要寫的英文字都寫完了。希望下學季選的History of Art不需要寫什麼。保祐保祐。
因為是Quarter制，這裡的Calculus 3上完相當於Semester制的Calc 2。不過因為之前的Calc 2沒上到Infinite Series，所以我還得修這裡的Calc 3。之後的Parametric Equations、Polar Coordinates和Vector都是學過的，上起來頗輕鬆 XD
沒了。
學季間的假期就是Spring break了，不到兩週，一下就混過去了...感覺沒休息到什麼啊！
2011年10月15日 星期六
[C++] 老鼠迷宮 Mouse Maze
又來寫程式啦～這次要讓老鼠出迷宮。
作業規定：
作業規定：
- 至少一個stack
- 鍵盤輸入起始座標
- 老鼠能判斷重覆路徑、死路
- 顯示逃出的路線
這次沒有用class，我跟pointer還不熟，寫作業的時限又短（一部分是自己造成的），所以先用最簡單的方式做完。或許，有生之年會生一個改版出來。那麼，開始了！
2011年9月14日 星期三
2011年9月6日 星期二
TOEFL iBT 96 考試心得
今天下午收到ETS來信通知托福成績公布了，膽顫心驚的開了托福網站。由於考試當天狀況不是很理想，加上準備時間不到一週，評估分數不會很高。尤其是Speaking一直口吃，本來很擔心會低於許多學校的低標（17/30）。這一個多星期以來總是忐忑不安，晚上還睡不著，一直在腦內開檢討大會。雖然總分要求其實不高（80/120），但還是怕成績落在微妙的邊緣地帶。
結果開出96分。如老婆一貫的評論：我總是過度擔心。
讀 Reading
22分
剛進考場時太緊張了。尤其當考場工作人員的指示不清時，真的是格外的降士氣。通知單說要考慮考場的溫度搭配合適的衣物，但工作人員不准我穿外套進場（很冷啊裡面）；在櫃台給了我一張說明單要我帶進去，但進場前另一個人又說這張不能帶。很整人吶，在那邊走進走出、置物櫃開開關關的。
我的閱讀測驗大概只練習了三題，所以整個計時的方式還不熟悉。在確認一些比較有把握的題目，費時太久了，以致比較難的題目只能靠感覺去選：兩道閱讀題的最後一題六選三（配分較高），現在回想起來，我覺得可能都有做錯。
聽 Listening
25分
對於課堂的題目我有點不服氣，因為我平常根本不會一無所知的就去聽課啊！一般人都不會預習的嗎！那古代像三葉蟲的生物什麼的，就算上課不完全聽得懂，也還有課本可以對照吧！何況生物學剛好是我的死穴啊啊！總之怨念很強這樣。
還有那個時限也很整人啊，什麼總共20分鐘（好像是）給你做17題，題目選好送出就不能回頭改，害我前面有點憑直覺選，怕到最後太趕。結果做到最後一題時，計時器還剩兩分半鐘。囧。
說 Speaking
22分
說到死穴，Speaking真的是一戳就爆的那種。我連講中文都不見得能反應這麼快了，還...。不過幸好配分是越後面越重，不然前兩題根本是像開車出門把車都撞爛了還沒開到巷口啊。第二題（雖然不記得題目了）最後大概剩個十秒左右我還沒講完但又一片空白，就僵在那裡等時間過去，進行了整個的一個十分尷尬的動作。
想到一件好笑的事：在考前和Speaking之前，電腦都會要求做麥克風的調音測試。它給了一個題目，考生用那個題目當口說練習題，讓電腦據此調整收音的音量。
寫 Writing
27分
這個可以考到四項最高分，真的是始料未及。不過事後想起來，我的英文寫作好歹是經過磨練的：一堂ESL英文寫作、兩堂英文作文，還有一堂哲學（當代道德問題），兩年來在這四堂課中搾盡了我無數的腦細胞，得到2A2B，對應到這次托福寫作的成績，真的得說各位老師教導有方啊。
兩題寫作中，第一題大概是問「深思熟慮不如立即行動，你覺得呢？」；第二題是關於海灣污染漁穫下降的挽救辦法的反對意見。可能是腦袋總算暖機完成的緣故，我可以輕鬆寫完（雖然神經緊繃但文思泉湧這樣 XD）還從頭檢查過。雖然覺得不難，但因為「說寫」的預期分數本來就比「聽讀」要低，所以寫作的分數算是意外的驚喜。
這次考試是8/27早上8:00~12:00在費城郊區的Conshohocken考的。考了一次學個經驗，不想再試了－－除非能單獨再考一次聽讀、取代原先的成績。幸好分數也夠用。TOEFL iBT, so long!
結果開出96分。如老婆一貫的評論：我總是過度擔心。
讀 Reading
22分
剛進考場時太緊張了。尤其當考場工作人員的指示不清時，真的是格外的降士氣。通知單說要考慮考場的溫度搭配合適的衣物，但工作人員不准我穿外套進場（很冷啊裡面）；在櫃台給了我一張說明單要我帶進去，但進場前另一個人又說這張不能帶。很整人吶，在那邊走進走出、置物櫃開開關關的。
我的閱讀測驗大概只練習了三題，所以整個計時的方式還不熟悉。在確認一些比較有把握的題目，費時太久了，以致比較難的題目只能靠感覺去選：兩道閱讀題的最後一題六選三（配分較高），現在回想起來，我覺得可能都有做錯。
聽 Listening
25分
對於課堂的題目我有點不服氣，因為我平常根本不會一無所知的就去聽課啊！一般人都不會預習的嗎！那古代像三葉蟲的生物什麼的，就算上課不完全聽得懂，也還有課本可以對照吧！何況生物學剛好是我的死穴啊啊！總之怨念很強這樣。
還有那個時限也很整人啊，什麼總共20分鐘（好像是）給你做17題，題目選好送出就不能回頭改，害我前面有點憑直覺選，怕到最後太趕。結果做到最後一題時，計時器還剩兩分半鐘。囧。
說 Speaking
22分
說到死穴，Speaking真的是一戳就爆的那種。我連講中文都不見得能反應這麼快了，還...。不過幸好配分是越後面越重，不然前兩題根本是像開車出門把車都撞爛了還沒開到巷口啊。第二題（雖然不記得題目了）最後大概剩個十秒左右我還沒講完但又一片空白，就僵在那裡等時間過去，進行了整個的一個十分尷尬的動作。
想到一件好笑的事：在考前和Speaking之前，電腦都會要求做麥克風的調音測試。它給了一個題目，考生用那個題目當口說練習題，讓電腦據此調整收音的音量。
"Describe the city you lived in."我還很認真思考：我住的地方要怎麼描述咧？一句一句邊講邊想。結果坐我左邊的人是怎麼回答的？「Describe the city you lived in. Describe the city you lived in. Describe the city you lived in. Describe the city you lived in...」他就這樣一直重複這句話直到電腦叫停！（笑倒）而且因為他很大聲，所以很多其他考生也都仿傚他的做法，我就一直聽到這句話在考場盤旋......
寫 Writing
27分
這個可以考到四項最高分，真的是始料未及。不過事後想起來，我的英文寫作好歹是經過磨練的：一堂ESL英文寫作、兩堂英文作文，還有一堂哲學（當代道德問題），兩年來在這四堂課中搾盡了我無數的腦細胞，得到2A2B，對應到這次托福寫作的成績，真的得說各位老師教導有方啊。
兩題寫作中，第一題大概是問「深思熟慮不如立即行動，你覺得呢？」；第二題是關於海灣污染漁穫下降的挽救辦法的反對意見。可能是腦袋總算暖機完成的緣故，我可以輕鬆寫完（雖然神經緊繃但文思泉湧這樣 XD）還從頭檢查過。雖然覺得不難，但因為「說寫」的預期分數本來就比「聽讀」要低，所以寫作的分數算是意外的驚喜。
這次考試是8/27早上8:00~12:00在費城郊區的Conshohocken考的。考了一次學個經驗，不想再試了－－除非能單獨再考一次聽讀、取代原先的成績。幸好分數也夠用。TOEFL iBT, so long!
2011年8月10日 星期三
（幾乎）熬過Composition 2
今天半夜前最後一個作業截止（剩不到24小時！）
先記錄一下這堂課讀過的文學作品：
先記錄一下這堂課讀過的文學作品：
第二週
- The Lottery - by Shirley Jackson
第三週
- Two Kinds - by Amy Tan
- [Forum] The Masque of the Red Death - by Edgar Allan Poe
第四週
- * [Short Story Analysis Essay 1] Luck - by Mark Twain (75分)
- Hills Like White Elephants - by Ernest Hemingway
第五週
- The Lesson - by Toni Cade Bambara
第六週
- * [Short Story Analysis Essay 2 & Forum] The Curse - by Andre Dubus (85分)
- Schoolsville - by Billy Collins
第七週
- ** Dolor - by Theodore Roethke
- * [Poetry Analysis Essay & Forum] Marks - by Linda Pastan (87分)
第八～十一週
- ** To Autumn - by John Keats
- * [Poetry Research Essay & Forum] - by E.E. Cummings (84分)
- Spring is like a perhaps hand
- somewhere i have never travelled, gladly beyond
第十二週（結束）
- i carry your heart with me
- * [Drama Analysis Essay] The Bear, A Joke in One Act - by Anton Chekhov (84分)
* 自選作品
** 額外閱讀
update:
update:
- 課本（要賣掉前的留念 XD ）
- Literature: An Introduction to Reading and Writing (4th Edition) - by Edgar V. Roberts
- Rules for Writers (6th Edition) - by Diana Hacker
終於結束了！
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